Question

如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒.

（1）當t=秒時，則OP=      ，S_△ABP=            ；

（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；

（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ·BP=3.

Answer 1

解：（1）1，；

（2）①∵∠A<∠BOC=60°，

∴∠A不可能是直角.

②當∠ABP=90°時，

∵∠BOC=60°，

∴∠OPB=30°.

∴OP=2OB，即2t=2.

∴t=1.

③當∠APB=90°時，作PD⊥AB，垂足為D，則∠ADP=∠PDB=90°.

∵OP=2t，

∴OD=t，PD=t，AD=2+t，BD=1-t（△BOP是銳角三角形）.

解法一：∴BP²=（1-t）² +3t²，AP²=(2+t)²+3t².

∵BP²+AP²=AB²，

∴(1-t)²+3t²+(2+t)²+3t²=9，

即4t²+t-2=0.

解得t₁=，t₂= （舍去）.

解法二：∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，

∴∠APD=∠B.

∴△APD∽△PBD.

∴

∴PD²=AD·BD.

于是(t)²=(2+t)(1-t)，即 4t²+t-2=0.

解得t₁=，t₂= （舍去）.

綜上，當△ABP為直角三角形時，t=1或.

（3）解法一：∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

作OE∥AP，交BP于點E，

∴∠OEB=∠APB=∠B.

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°.

又∵∠3+∠OEB=180°，

∴∠3=∠QAB.

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

已知∠B=∠QOP，

∴∠1=∠2.

∴△QAO∽△OEP.

∴，即AQ·EP=EO·AO.

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP.

∴.

∴OE=AP=1，BP=EP.

∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=´2´1=3.

解法二：連接PQ，設AP與OQ相交于點F.

∵AQ∥BP，

∴∠QAP=∠APB.

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B.

∴∠QAP=∠B.

又∵∠QOP=∠B，

∴∠QAP=∠QOP.

∵∠QFA=∠PFO，

∴△QFA∽△PFO.

∴，即.

又∵∠PFQ=∠OFA，

∴△PFQ∽△OFA.

∴∠3=∠1.

∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

已知∠B=∠QOP，

∴∠1=∠2.

∴∠2=∠3.

∴△APQ∽△BPO.

∴.

∴AQ·BP=AP·BO=3´1=3.