Question

【題目】如圖，正方形AOBC的邊OB、OA分別在x、y軸上，點C坐標為（8，8），將正方形AOBC繞點A逆時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段BC于點Q，ED的延長線交線段OB于點P，連接AP、AQ．

（1）求證：△ACQ≌△ADQ；

（2）求∠PAQ的度數，并判斷線段OP、PQ、CQ之間的數量關系，并說明理由；

（3）連接BE、EC、CD、DB得到四邊形BECD，在旋轉過程中，四邊形BECD能否是矩形？如果能，請求出點P的坐標，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析，（2）PQ＝OP+CQ，理由見解析，（3））；理由見解析.

【解析】

（1）由正方形的性質及旋轉的性質可得到AD＝AC，利用HL即可證得結論；

（2）利用（1）的結論，結合條件可證得△AOP≌△ADP，進一步可求得∠PAQ＝45°，再結合全等可求得PQ＝OP+CQ；

（3）利用矩形的性質可得到BQ＝EQ＝CQ＝DQ，設P（x，0），則可表示出BQ、PB的長，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可得到關于x的方程，則可求得P點坐標．

（1）證明：

∵正方形AOBC繞點A旋轉得到正方形ADEF，

∴AD＝AC，∠ADQ＝∠ACQ＝90°，

在Rt△ADQ和Rt△ACQ中

，

∴Rt△ACQ≌Rt△ADQ（HL）；

（2）解：

∵△ACQ≌△ADQ，

∴∠CAQ＝∠DAQ，CQ＝DQ，

在Rt△AOP和Rt△ADP中

，

∴Rt△AOP≌Rt△ADP（HL），

∴∠OAP＝∠DAP，OP＝OD，

∴∠PAQ＝∠DAQ+DAP＝∠DAC+∠DAO＝（∠DAC+∠DAO）＝∠OAC＝45°，

PQ＝PD+DQ＝OP+CQ；

（3）解：四邊形BECD可為矩形，如圖，

若四邊形BECD為矩形，則BQ＝EQ＝CQ＝DQ，

∵BC＝8，

∴BQ＝CQ＝4，

設P點坐標為（x，0），則PO＝x，

∵OP＝PD，CQ＝DQ，

∴PD＝x，DQ＝4，

在Rt△BPQ中，可知PQ＝x+4，BQ＝4，BP＝8﹣x，

∴（x+4）2+42＝（8﹣x）2，解得x＝，

∴P點坐標為（，0）．