Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x²+2x-a-1=0．
（1）當(dāng)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根時，求a的取值范圍；
（2）如果原方程有兩個不相等的整數(shù)根x₁，x₂（x₁＜x₂），且|x₁+x₂|＞1，求a的正整數(shù)值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a-1≠0且△=4-4（a-1）（-a-1）＞0，然后解兩個不等式得到a≠1且a≠0；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

2

a-1

，而|x₁+x₂|＞1，分類討論：當(dāng)x₁+x₂＞1，則-

2

a-1

＞1；當(dāng)x₁+x₂＜-1，則-

2

a-1

＜-1，然后可解得滿足條件的正整數(shù)只有a=2．

解答：解：（1）根據(jù)題意得a-1≠0且△=4-4（a-1）（-a-1）＞0，
解得a≠1且a≠0，
即a的取值范圍為a≠1且a≠0；
（2）根據(jù)題意得根x₁+x₂=-

2

a-1

，
∵|x₁+x₂|＞1，
當(dāng)x₁+x₂＞1，則-

2

a-1

＞1，

2

a-1

＜-1，沒有滿足條件的正整數(shù)a；
當(dāng)x₁+x₂＜-1，則-

2

a-1

＜-1，

2

a-1

＞1，滿足條件的正整數(shù)a=2，
∴a的正整數(shù)值為2．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義以及根與系數(shù)的關(guān)系．