Question

（11·大連）（本題12分）在△ABC中，∠A＝90°，點D在線段BC上，∠EDB

＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．

（1）當AB＝AC時，（如圖13），

① ∠EBF＝_______°；

② 探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明；

（2）當AB＝kAC時（如圖14），求的值（用含k的式子表示）．

 

  

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①22.5°…………………………2分

證明：如圖1，過點D作DG∥CA，與BE的延長線相交于點G，與AB相交于點H

則∠GDB＝∠C   ∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB

又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°

∴△DEB≌△DEG

∵AB＝AC   ∠A＝90°

∴∠ABC＝∠C＝∠GDB

∴HB＝HD

∵∠DEB＝∠BHD＝90°    ∠BFE＝∠DFH

∴∠EBF＝∠HDF

∴△GBH≌△FDH

∴GB＝FD…………………………6分

（2）如圖1，過點D作DG∥CA，與BE的延長線相交于點G，與AB相交于點H

又∵DG∥CA

∴△BHD∽△BAC

第二種解法：

解：（1）①∵AB＝AC∠A＝90°

∴∠ABC＝∠C＝45°

∵∠EDB＝ ∠C

∴∠EDB＝22.5°

∵BE⊥DE

∴∠EBD＝67.5°

∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5°

②在△BEF和△DEB中

∵∠E＝∠E＝90°

∠EBF＝∠EDB＝22.5°

∴△BEF∽△DEB

如圖：BG平分∠ABC，

∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形

設EF＝x，BE＝y，

則：BG＝GD＝ y

FD＝ y＋y－x

∵△BEF∽△DEB

∴ ＝

即： ＝

得：x＝（ －1）y

∴FD＝ y＋y－（ －1）y＝2y

∴FD＝2BE．

（2）如圖：作∠ACB的平分線CG，交AB于點G，

∵AB＝kAC

∴設AC＝b，AB＝kb，BC＝ b

利用角平分線的性質有：＝

即： ＝

得：AG＝

∵∠EDB＝ ∠ACB

∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝

∵∠EDB＝ ∠ACB

∠ABC＝90°－∠ACB

∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝ ∠ACB

∴△BEF∽△DEB

∴EF＝ BE

ED＝ BE＝EF＋FD

∴FD＝ BE－ BE＝ BE．

∴ ＝ ．

【解析】略