Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AC上有一點D，分別以BD為邊作等邊△BDE和等腰△BDF，邊BC、DE交于點H，點F在BA延長線上且DB＝DF，連接CE．

（1）若AB＝8，AD＝4，求△BDF的面積；

（2）求證：BC＝AF+CE．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）詳見解析．

【解析】

（1）作DH⊥AB于H，如圖1，利用等邊三角形的性質得點D為AC的中點，則BD⊥AD，利用含30度的直角三角形三邊的關系計算出DH、BF，從而得到△BDF的面積；

（2）如圖2，先證明△BAD≌△BCE得到AD＝CE，∠4＝∠3＝60°，再證明∠ADF＝∠HBD＝∠5，則可判斷△ADF≌△CED，從而得到AF＝CD，所以AC＝AD+CD＝CE+AF＝BC．

（1）解：作DH⊥AB于H，如圖1，

∵△ABC是等邊三角形，AB＝8，AD＝4，

∴點D為AC的中點，∠CAB=60°

∴BD⊥AD，

∴∠ADB＝90°，

∵DH⊥AB，

∴FH＝BH，∠ADH=30°

在Rt△ADH中，AH＝AD＝2，

∴BH＝6，DH＝=2，

∴BH＝HF＝6，

∴△BDF的面積＝×（6+6）×2＝12；

（2）證明：如圖2，

∵△ABC、△DEB都為等邊三角形，

∴∠4＝∠ABC＝∠DBE＝∠6＝60°，BA＝BC，BD＝BE

∴∠1＝∠2，

在△BAD和△BCE中

，

∴△BAD≌△BCE（SAS），

∴AD＝CE，∠4＝∠3＝60°，

而∠CHE＝∠DHB，

∴∠5＝∠HBD，

∵∠4＝∠F+∠ADF＝60°，∠HBD+∠1＝60°，

而∠1＝∠F，

∴∠ADF＝∠HBD＝∠5，

在△ADF和△CED中

∴△ADF≌△CED（SAS），

∴AF＝CD，

∴AC＝AD+CD＝CE+AF，

∴BC＝AF+CE．