Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點，以BD為直徑的⊙0與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BC=12，AD=8，求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，易證OE∥BC，根據等邊對等角即可證得∠ODE=∠F，則根據等角對等邊即可求解；
（2）易證△AOE∽△ABC，根據相似三角形的對應邊的比相等即可證得圓的半徑，即可求解．
解答：（1）證明：連接OE，
∵AC是圓的切線，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵O是BD的中點，
∴OE是△BFD的中位線，
∵OE∥BF，
∴∠DEO=∠EFB，
又∵∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠BFD，
∴BD=BF；

（2）設⊙O的半徑為R，則BD=2R，OD=OE=R  
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，即=，
解得：R₁=8，R₂=-6（舍去）
∴BF=BD=2R=16．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質，正確利用△AOE∽△ABC求得圓的半徑是關鍵．