Question

用一塊邊長為60cm的正方形薄鋼片制作一個長方體盒子：
（1）如果要做成一個沒有蓋的長方體盒子，可先在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形（如圖1），然后把四邊折合起來（如圖2）；
①求做成的盒子底面積y（cm²）與截去小正方形邊長x（cm）之間的函數關系式；
②當做成的盒子的底面積為900cm²時，試求該盒子的容積．
（2）如果要做成一個有蓋的長方體盒子，制作方案要求同時符合下列兩個條件：
①必須在薄鋼片的四個角上各截去一個四邊形；（其余部分不能裁截）
②折合后薄鋼片既無空隙又不重疊地圍成各盒面．
請你畫出符合上述制作方案的一種草圖（不必說明畫法與根據）；并求當底面積為800cm²時，該盒子的高．

Answer 1

解：（1）①由題意可得y=（60-2x）²=4x²-240x+3600（0＜x＜30）；
②當y=900時，（60-2x）²=900，解得x=15，x=45．（不合題意舍去）
因此盒子的容積應該是900×15=13500（立方厘米）．
答：該盒子的容積式13500立方厘米．

（2）如圖：

該盒子的高為x，那么根據題意盒子的底面積可表示為：×（60-2x）=800．
解得：x=10，x=50．（不合題意舍去）
因此當底面積是800平方厘米時，盒子的高是10厘米．
分析：（1）①可根據圖中給出的信息，先表示出盒子的正方形底面的邊長，然后根據正方形的面積公式即可得出x，y的函數關系式；
②可將底面積代入①的式子中，求出高，然后根據底面積×高=容積，即可得出容積是多少．
（2）只要符合要求的圖形都可以，求法同（1）．
點評：本題主要考查了正方形和矩形的性質以及動手作圖的能力，只要搞清楚盒子底面各邊的長和盒子的高的關系即可作出正確解答．