Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連接BF、DE交于點M，延長ED到H使DH=BM，連接AM，AH，則以下四個結論：
①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等邊三角形；④S_{四邊形ABCD}=AM²．
其中正確結論的個數是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根據菱形的四條邊都相等，先判定△ABD是等邊三角形，再根據菱形的性質可得∠BDF=∠C=60°，再求出DF=CE，然后利用“邊角邊”即可證明△BDF≌△DCE，從而判定①正確；根據全等三角形對應角相等可得∠DBF=∠EDC，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可以求出∠DMF=∠BDC=60°，再根據平角等于180°即可求出∠BMD=120°，從而判定②正確；根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及平行線的性質求出∠ABM=∠ADH，再利用“邊角邊”證明△ABM和△ADH全等，根據全等三角形對應邊相等可得AH=AM，對應角相等可得∠BAM=∠DAH，然后求出∠MAH=∠BAD=60°，從而判定出△AMH是等邊三角形，判定出③正確；根據全等三角形的面積相等可得△AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，然后判定出④錯誤．
解答：解：在菱形ABCD中，∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴根據菱形的性質可得∠BDF=∠C=60°，
∵BE=CF，
∴BC-BE=CD-CF，
即CE=DF，
在△BDF和△DCE中，，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小題正確；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，
∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°，故②小題正確；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，
∴∠DEB=∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在△ABM和△ADH中，，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，
∴△AMH是等邊三角形，故③小題正確；
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，
又∵△AMH的面積=AM•AM=AM²，
∴S_{四邊形ABMD}=AM²，
S_{四邊形ABCD}≠S_{四邊形ABMD}，故④小題錯誤，
綜上所述，正確的是①②③共3個．
故選C．
點評：本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，題目較為復雜，特別是圖形的識別有難度，從圖形中準確確定出全等三角形并找出全等的條件是解題的關鍵．