Question

【題目】直線l：y=2x+2m(m>0)與x，y軸分別交于A.B兩點，點M是雙曲線(x>0)上一點，分別連接MA、MB.

(1)如圖，當點A(，0)時，恰好AB=AM，∠MAB=90°，試求M的坐標；

(2)如圖，當m=3時，直線l與雙曲線交于C.D兩點，分別連接OC、OD，試求△OCD面積；

(3)如圖，在雙曲線上是否存在點M，使得以AB為直角邊的△MAB與△AOB相似?如果存在，請直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（，）；（2）3；（3）（4，1），（2，2），（，），（，）.

【解析】

（1）把A的坐標代入直線的解析式即可求得m的值，然后證明△OAB≌△EMA，求得ME和AE的長，則M的坐標即可求解；
（2）解一次函數與反比例函數的解析式組成的方程組，即可求得C和D的坐標，作DF⊥y軸于點F，CG⊥y軸，根據S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG-S△ODF求解；
（3）分類討論：以∠BAM和∠ABM為直角兩種情況．①當∠BAM=∠BOA=90°時，作MH⊥x軸于點H，先求得AM的長，再根據相似三角形的性質求得AH和MH的長，進而求得M的坐標，代入反比例函數關系式求出m即可，②當∠ABM=90°時，過點M作MH⊥y軸于點H，同理可求出M坐標.

(1)把A(，0)代入y=2x+2m得：+2m=0，

解得：m=.

則直線的解析式是：y=2x+，

令x=0,解得y=，

則B的坐標是(0, ).

如圖所示，作ME⊥x軸于點E.

∵∠BAM=90°，

∴∠BAO+∠MAE=90°，

又∵直角△AEM中,∠AME+∠MAE=90°，

∴∠BAO=∠AME.

在△OAB和△EMA中，

∴△OAB≌△EMA(AAS)，

∴ME=OA=,AE=OB=.

∴OE=OA+AE=，

則M的坐標是(，)；

(2)當m=3時，一次函數的解析式是y=2x+6.

解不等式組，

得或，

則D的坐標是(1,4),C的坐標是(2,2).

如圖，作DF⊥y軸于點F，CG⊥y軸,則F和G的坐標分別是(0,4)，(0,2).

則S△OCG=S△ODF=×4=2，

S梯形CDFG=×(1+2)×(42)=3，

則S△OCD=S梯形CDFG+S△OCGS△ODF=3;

(3)如圖，作MH⊥x軸于點H.

則△AOB、△ABM、△AMH都是兩直角邊的比是1:2的直角三角形.

①當∠BAM=∠BOA=90°時，OA=m，OB=2m，得：

AM=AB=m，MH=OA=；

從而得到點M的坐標為(2m, ).

代入雙曲線解析式為：=，

解得：m=2,則點M的坐標為(4,1)；

同理當∠BAM=∠OBA時,可求得點M的坐標為(，).

②當∠ABM=90°時，過點M作MH⊥y軸于點H，

則△AOB、△ABM、△BMH都是直角邊的比是1:2的直角三角形；

當∠AMB=∠OAB時，OB=m，OA=2m，

得：AH=2OB=2m，MH=2OA=4m，

從而點M的坐標為(4m,4m)

代入雙曲線的解析式得：4m×4m=4，

解得：m=,點M的坐標為(2,2)；

同理,當∠AMB=∠OBA時,點M的坐標為(,).

綜上所述，滿足條件的點M的坐標是：（4，1），（2，2），（，），（，）.