Question

（2013•十堰）如圖，已知正比例函數y=2x和反比例函數的圖象交于點A（m，-2）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍；
（3）若雙曲線上點C（2，n）沿OA方向平移

5

個單位長度得到點B，判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）設反比例函數的解析式為y=

k

x

（k＞0），然后根據條件求出A點坐標，再求出k的值，進而求出反比例函數的解析式；
（2）直接由圖象得出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍；
（3）首先求出OA的長度，結合題意CB∥OA且CB=

5

，判斷出四邊形OABC是平行四邊形，再證明OA=OC即可判定出四邊形OABC的形狀．

解答：解：（1）設反比例函數的解析式為y=

k

x

（k＞0），
∵A（m，-2）在y=2x上，
∴-2=2m，
∴m=-1，
∴A（-1，-2），
又∵點A在y=

k

x

上，
∴k=2，
∴反比例函數的解析式為y=

2

x

；

（2）觀察圖象可知正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍為-1＜x＜0或x＞1；

（3）四邊形OABC是菱形．
證明：∵A（-1，-2），
∴OA=

12+22

=

5

，
由題意知：CB∥OA且CB=

5

，
∴CB=OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∵C（2，n）在y=

2

x

上，
∴n=1，
∴C（2，1），
OC=

22+12

=

5

，
∴OC=OA，
∴四邊形OABC是菱形．

點評：本題主要考查了反比例函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及菱形的判定定理，此題難度不大，是一道不錯的中考試題．