Question

正實數a、b滿足a^b=b^a，且a＜1，求證：a=b．

Answer 1

分析：首先通過已知可知a^b=b^a＞0，因而對其兩邊取對數，可得到

lna

a

=

lnb

b

．我們設想f(x)=

lnx

x

．只要證得f（x）在0＜x＜1 時為單調函數，必然可得到a=b．如何求單調，只需求其單調性，只要求f（x）的導數即可．

解答：解：∵a^b=b^a?ln（a^b）=ln（b^a）?blna=alnb?

lna

a

=

lnb

b

，
∴令f(x)=

lnx

x

，
∵求導可得f（x）是單調函數，
∴不可能有a≠b，而

lna

a

=

lnb

b

，
∴a=b．

點評：本題考查求導公式的應用、分式的等式證明．解決本題的關鍵是通過將a^b=b^a轉會為

lna

a

=

lnb

b

，再利用函數的單調性證明．