Question

10、若正實數a、b滿足ab=a+b+3，則a²+b²的最小值是

18

．

Answer 1

分析：設a+b=m，則ab=m+3，以a、b為根構造出一元二次方程，再由一元二次方程根的判別式得出△≥0，求出m的取值范圍，再把m的最小值代入a²+b²即可求出其最小值．

解答：解：設a+b=m，則ab=m+3，以a、b為根構造方程得x²-mx+m+3=0，
△=m²-4（m+3）=m²-4m-12≥0，且m＞0，
解得，m≥6，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（m-1）²-7，
當m=6時，
a²+b²可取得最小值為18．
故答案為：18．

點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，設出a+b=m并構造出以a、b為根的一元二次方程是解答此題的關鍵．