Question

（2007•衡陽）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，垂足為點D．點P，Q分別從B，C兩點同時出發，其中點P從點B開始沿BC邊向點C運動，速度為1cm/s，點Q從點C開始沿CA邊向點A運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x．
（1）當x為何值時，將△PCQ沿直線PQ翻折180°，使C點落到C′點，得到的四邊形CQC′P是菱形；
（2）設△PQD的面積為y（cm²），當0＜x＜2.5時，求y與x的函數關系式；
（3）當0＜x＜2.5時，是否存在x，使得△PDM與△MDQ的面積比為5：3？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當PC=CQ時，根據圖形翻折變換后與原圖形重合，可以判斷出此時形成的四邊形是菱形．
（2）過點Q作QE⊥BC，由勾股定理可求出AD的值，再根據△QEC∽△ADC可用x表示出QE的長，再由三角形的面積公式即可求出y與x之間的函數關系式．
（3）過點Q作QF⊥AD，垂足為F，把三角形的面積比轉化成高的比，再分別用x表示出兩三角形的高，根據比值求出未知數的值即可．
解答：解：（1）PC=6-x，CQ=2x
要使四邊形CQC′P是菱形，則PC=CQ
即6-x=2x得x=2
∴當x=2時，四邊形CQC′P是菱形．（3）

（2）過點Q作QE⊥BC，垂足為E，
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC
∴AD==4（cm）
∵QE∥AD
∴△QEC∽△ADC，
∴=即=，
∴QE=
又∵PD=3-x
∴y=PD•QE=（3-x）•x
即y=-x²+x（0＜x＜2.5）．（6）

（3）存在．理由如下
過點Q作QF⊥AD，垂足為F
∵S_△PDM：S_△MDQ=5：3
∴PM：MQ=PD：QF=5：3
在Rt△QEC中，EC==x
QF=DE=3-x
（也可由Rt△AEQ Rt△ADC，求得QF）（8）
∴=
解得x=2∴當x=2時，S_△PDM：S_△MDQ=5：3．（10分）
點評：此題是典型的動點問題，涉及到菱形及相似三角形的性質，題中的（3）是開放性題目，解法不唯一．