Question

（2007•衡陽）如圖，點P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點，連接AP并延長交⊙P于C點，過點C的直線y=-2x+b交x軸于點D，交y軸于點E，且⊙P的半徑為，AB=4．
（1）求點P，點C的坐標；
（2）求證：CD是⊙P的切線；
（3）若二次函數y=-x²+mx+n的圖象經過A，C兩點，求這個二次函數的解析式，并寫出使函數值大于一次函數y=-2x+b值的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CB，根據已知及勾股定理等即可求解；
（2）只要證明∠ACD=90°即可得到DC是⊙P的切線．
（3）把A，C兩點代入解析式求出未知數的值，進而求出其解析式；可求二次函數y=-x²+x+3與一次函數y=-2x+6的交點C和D，由此可知，滿足條件的x的取值范圍．
解答：（1）解：如圖，連接CB，
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2．（1分）
∵OP²+AO²=AP²
∴OP²=5-4=1，OP=1，（2分）
∵AC是⊙P的直徑，
∴∠ABC=90°．
∵CP=PA，BO=OA，
∴BC=2PO=2．
∴P（0，1），C（2，2）．（3分）

（2）證明：
方法一：∵y=-2x+b過C點，
∴b=6．
∴y=-2x+6．（4分）
∵當y=0時，x=3，
∴D（3，0）．
∴BD=1．
∵OA=BC=2PO=BD=1，∠AOP=∠CBD，
∴△AOP≌△CBD．
∴∠PAO=∠DCB．
∵∠PAO+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCB=90°．
∴∠ACD=90°．
∴DC是⊙P的切線．（6分）
方法二：∵直線y=-2x+b過C點（2，2），
∴y=-2x+6．（4分）
又∵直線y=-2x+6交x軸于點D，y軸于點E，
∴D（3，0），E（0，6）．
∴OD=3OE=6．
∴．
又∵∠AOP=∠EOD，
∴△AOP∽△EOD．
∴∠APO=∠EDO．
又∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠EDO+∠PAO=90°．
∴∠ACD=90°．
∴CD是⊙O的切線．（6分）

（3）解：∵y=-x²+mx+n過A（-2，0）和C（2，2），
∴
解得，
∴這個二次函數的解析式為y=-x²+x+3．（8分）
可求二次函數y=-x²+x+3與一次函數y=-2x+6的交點C（2，2）和D（3，0），
由此可知，滿足條件的x的取值范圍為2＜x＜3．（10分）
點評：此題考查的是用待定系數法求一次函數的解析式及圓的相關知識，涉及面較廣．