Question

7．小東同學在學習了二次函數圖象以后，自己提出了這樣一個問題：
探究：函數$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的圖象與性質．
小東根據學習函數的經驗，對函數$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的圖象與性質進行了如下探究：下面是小東的探究過程，請補充完成：
（1）函數$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的自變量x的取值范圍是x≠1；
（2）下表是y與x的幾組對應值．

x

…

-2

-1

0

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{3}{2}$

2

3

4

…

y

…

$\frac{25}{6}$

$\frac{3}{2}$

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{15}{8}$

$-\frac{53}{18}$

$\frac{55}{18}$

$\frac{17}{8}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{5}{2}$

m

…

則m的值是$\frac{29}{6}$；
（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，描出了以上表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數的圖象；
（4）小東進一步探究發現，該函數圖象在第一象限內的最低點的坐標是$（2，\frac{3}{2}）$，結合函數的圖象，
寫出該函數的其他性質（一條即可）：當x＜1時，y隨x的增大而減小．

Answer 1

分析 （1）分式的分母不等于零；
（2）根據圖表可知當x=4時的函數值為m，把x=4代入解析式即可求得；
（3）根據坐標系中的點，用平滑的直線連接即可；
（4）觀察圖象即可得出該函數的其他性質．

解答 解：（1）由$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$知，x-1≠0，即x≠1，所以變量x的取值范圍是x≠1．
故答案是：x≠1；

（2）把x=4代入得到：m=$\frac{1}{2}{（4-1）^2}+\frac{1}{4-1}$=$\frac{29}{6}$，
即m的值是$\frac{29}{6}$．
故答案是：$\frac{29}{6}$；

（3）如圖：
  ；

（4）該函數的其他性質：當x＜1時，y隨x的增大而減小；
當1＜x＜2時，y隨x的增大而減小等．
故答案是：當x＜1時，y隨x的增大而減小．

點評 本題綜合考查了二次函數的圖象和性質，反比例函數的圖象和性質，根據圖表畫出函數的圖象是解題的關鍵．