Question

（2007•湖州）在8×8的正方形網格中建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限內的一個格點，由點C與線段AB組成一個以AB為底，且腰長為無理數的等腰三角形．
（1）填空：C點的坐標是______，△ABC的面積是______；
（2）將△ABC繞點C旋轉180°得到△A₁B₁C₁，連接AB₁、BA₁，試判斷四邊形AB₁A₁B是何種特殊四邊形，請說明理由；
（3）請探究：在x軸上是否存在這樣的點P，使四邊形ABOP的面積等于△ABC面積的2倍？若存在，請直接寫出點P的坐標（不必寫出解答過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）此點應在AB的垂直平分線上，在第一象限，腰長又是無理數，只有是點（1，1），從A，B向x軸引垂線，把所求的三角形的面積分為一個直角三角形和一個直角梯形的面積減去一個直角三角形的面積．
（2）旋轉180°后可得新四邊形的對角線互相平分，那么先判斷是平行四邊形，然后根據等腰三角形的性質得到對角線相等，那么所求的四邊形是矩形．
（3）根據平行四邊形的性質，結合（1）中的方法解答．
解答：解：（1）（1，1），4；

（2）四邊形AB₁A₁B是矩形．
∵AC=A₁C，BC=B₁C，AC=BC
∴AA₁=BB₁
∴四邊形AB₁A₁B是矩形

（3）∵S_△ABC=S_梯形ABDE+S_矩形BDCF-（S_△AEC+S_△BCF）=×（1+3）×2+3×1-×1×3-×1×3=4，
∴四邊形ABOP的面積等于8．
同（1）中的方法得到三點A，B，O構成的面積為6．當P在O左邊時，△APO的面積應為2，高為4，那么底邊長為1，所以P（-1，0）；
當P在O右邊時，△BOP的面積應為2，高為2，所以底邊長為2，此時P坐標為（2，0）．
故點P的坐標為（2，0），（-1，0）．
點評：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．對角線互相平分且相等的四邊形是平行四邊形．