Question

如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上的一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC．先由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，再由切線的性質得出OC⊥CD，根據垂直于同一直線的兩直線平行得到AD∥CO，由平行線的性質得∠DAC=∠ACO，等量代換后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如圖2①，過點O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂徑定理求出AE=，再根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△AEO∽△ADC，由相似三角形對應邊成比例得到，求出AO=，即⊙O的半徑為；解法二：如圖2②，連接BC．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，再根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△ABC∽△ACD，由相似三角形對應邊成比例得到，求出AB=，則⊙O的半徑為．
解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠BAD；

（2）解法一：如圖2①，過點O作OE⊥AC于E．
在Rt△ADC中，AD===3，
∵OE⊥AC，
∴AE=AC=．
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴，即，
∴AO=，即⊙O的半徑為．
解法二：如圖2②，連接BC．
在Rt△ADC中，AD===3．
∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
即，
∴AB=，
∴=，
即⊙O的半徑為．
點評：本題考查了等腰三角形、平行線的性質，勾股定理，垂徑定理，切線的性質，相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法及數形結合思想的應用．