Question

如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上的一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D．

（1）求證：AC平分∠BAD；

（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半徑長．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由OA=OC得∠ACO=∠CAO，由切線的性質得出OC⊥CD，根據垂直于同一直線的兩直線平行得到AD∥CO，由平行線的性質得∠DAC=∠ACO，等量代換后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD.

過點O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂徑定理求出AE=，再根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△AEO∽△ADC，由相似三角形對應邊成比例得到，求出AO=，即⊙O的半徑為.

試題解析：（1）證明：如圖，連接OC，

∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO.

∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD，∴AD∥CO.

∴∠DAC=∠ACO.

∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD.

（2）如圖，過點O作OE⊥AC于E．

在Rt△ADC中，，

∵OE⊥AC，∴AE=AC=.

∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，

∴△AEO∽△ADC.

∴，即，

∴AO=，即⊙O的半徑為.

考點：1.垂徑定理的性質；2.相似三角形的性質.