Question

【題目】如圖，是的直徑，為上一點，是半徑上一動點（不與，重合），過點作射線，分別交弦，于，兩點，過點的切線交射線于點．

（1）求證：．

（2）當是的中點時，

①若，試證明四邊形為菱形；

②若，且，求的長度．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②9

【解析】

(1)連接OC，根據切線的性質得出OC⊥CF以及∠OBC=∠OCB得∠FCD=∠FDC，可證得結論；
(2)①如圖2，連接OC，OE，BE，CE，可證△BOE，△OCE均為等邊三角形，可得OB=BE=CE=OC，可得結論；
②設AC=3k，BC=4k(k＞0)，由勾股定理可求k=6，可得AC=18，BC=24，由面積法可求PE，由勾股定理可求OP的長．

(1)連接OC，

∵CF是⊙O的切線，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，則∠OCB+∠DCF=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵PD⊥AB，
∴∠BPD=90°，則∠OBC+∠BDP=90°，
∴∠BDP=∠DCF，
∵∠BDP=∠CDF，
∴∠DCF=∠CDF，
∴FC=FD；
(2)①如圖2，連接OC、OE、BE、CE，

∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，

∵點E是的中點，
∴∠BOE=∠COE=60°，
∵OB=OE=OC，
∴△BOE，△OCE均為等邊三角形，
∴OB=BE=CE=OC，
∴四邊形BOCE是菱形；

②∵，

∴設AC=3k，BC=4k(k＞0)，
由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即(3k)2+(4k)2=302，

解得k=6，
∴AC=18，BC=24，
∵點E是的中點，
∴OE⊥BC，BH=CH=12，
∴S△OBE=OE×BH=OB×PE，即15×12=15PE，

解得：PE=12，
由勾股定理得OP=．