Question

【題目】如圖1，已知A、B、C是⊙O上的三點，AB＝AC，∠BAC＝120°．

（1）求證：⊙O的半徑R＝AB；

（2）如圖2，若點D是∠BAC所對弧上的一動點，連接DA，DB，DC．

①探究DA，DB，DC三者之間的數量關系，并說明理由；

②若AB＝3，點C'與C關于AD對稱，連接C'D，點E是C'D的中點，當點D從點B運動到點C時，求點E的運動路徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①CD+BD＝AD，見解析，②2π

【解析】

（1）連接OA，OB，OC，由“SSS”可證△OAB≌△OAC，可得∠BAO＝∠CAO＝60°，可證△ABO是等邊三角形，可得結論；

（2）將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACH，過點A作AN⊥CH于N，由旋轉的性質可得BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120°，∠ABD＝∠ACH，可證點D，點C，點H三點共線，由直角三角形的性質可求解；

（3）先確定點E的運動軌跡，利用弧長公式可求解．

證明：（1）如圖1，連接OA，OB，OC，

∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，

∴△OAB≌△OAC（SSS），

∴∠BAO＝∠CAO，

又∵∠BAC＝120°，

∴∠OAB＝60°＝∠OAC，

∴△ABO是等邊三角形，

∴⊙O的半徑R＝AB；

（2）CD+BD＝AD，

理由如下：如圖2，將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACH，過點A作AN⊥CH于N，

∴BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120°，∠ABD＝∠ACH，

∵四邊形ABDC是圓內接四邊形，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

∴∠ACD+∠ACH＝180°，

∴點D，點C，點H三點共線，

∵AD＝AH，∠DAH＝120°，AN⊥CH，

∴∠AHD＝∠ADH＝30°，HN＝DN＝DH，

∴AD＝2AN，DN＝AN，

∴HD＝AN＝AD，

∴CD+CH＝CD+BD＝AD；

（3）如圖3，連接BC，過點A作AM⊥BC于M，連接CC'，CE，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AM⊥BC，AB＝3，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∴AM＝，BM＝AM＝，

∵∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ADC＝∠ABC＝30°，

∴∠ADB＝∠ADC，

∴點C關于AD對稱點C'在BD上，

∴CD＝C'D，

又∵∠CDC'＝60°，

∴△CDC'是等邊三角形，

∵點E是C'D的中點，

∴CE⊥BD，

∴點E在以BC為直徑的圓上，

當點B與點D重合時，

∵E'M＝BM＝CM，

∴∠MCE'＝∠ME'C＝30°，

∴∠BME'＝60°，

當點D與點C重合時，點E也與點C重合，

∴點E的運動路徑長＝＝2π．