Question

如圖，直線AB分別與兩坐標軸交于點A（4，0）、B（0，8），點C的坐標為（2，0）．

（1）求直線AB的解析式；
（2）在線段AB上有一動點P．
①過點P分別作x、y軸的垂線，垂足分別為點E、F，若矩形OEPF的面積為6，求點P的坐標．
②連接CP，是否存在點P，使△ACP與△AOB相似？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A（4，0）、B（0，8），利用待定系數法即可求出直線AB的解析式；
（2）①可以設動點P （x，-2x+8），由此得到PE=x，PF=-2x+8，再利用矩形OEPF的面積為6即可求出點P的坐標；
②存在，分兩種情況：第一種由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐標；第二種CP⊥AB，根據已知條件可以證明APC∽△AOB，
然后利用相似三角形的對應邊成比例即可求出PA，再過點P作PH⊥x軸，垂足為H，由此得到PH∥OB，進一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的對應邊成比例就可以求出點P的坐標．
解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
依題意，，
∴，
∴y=-2x+8；

（2）①設動點P （x，-2x+8），
則PE=x，PF=-2x+8，
∴S_?OEPF=PE•PF=x（-2x+8）=6
∴x₁=1，x₂=3；
經檢驗x₁=1，x₂=3都符合題意，
∴點P（1，6）或（3，2）；

②存在，分兩種情況
第一種：CP∥OB，
∴△ACP∽△AOB，
而點C的坐標為（2，0），
∴點P（2，4 ）；

第二種CP⊥AB，
∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△APC∽△AOB，
∴，
∴，
∴AP=，
如圖，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，
∴PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴，
∴，
∴PH=，
∴，
∴點P（）．
∴點P的坐標為（2，4）或點P（）．
點評：本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，題中運用相似三角形的性質與判定與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．