Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x=2，且OA=OC，則下列結論：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④關于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一個根為﹣
其中正確的結論個數有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：
由圖象開口向下，可知a＜0，
與y軸的交點在x軸的下方，可知c＜0，
又對稱軸方程為x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正確；
由圖象可知當x=3時，y＞0，
∴9a+3b+c＞，故②錯誤；
由圖象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正確；
假設方程的一個根為x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
兩邊同時乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一個根為x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而當x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假設成立，故④正確；
綜上可知正確的結論有三個，
故選C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．