Question

（2010•青浦區二模）如圖，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4，點O在BC邊上運動，以O為圓心，OA為半徑的圓與邊AB交于點D（點A除外），設OB=x，AD=y，
（1）求sin∠ABC的值；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）當點O在BC邊上運動時，⊙O是否可能與以C為圓心，BC長為半徑的⊙C相切？如果可能，請求出兩圓相切時x的值；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AE⊥BC，垂足為E，根據等腰三角形三線合一的性質求出BE的長，再由勾股定理求出AE的長，根據特殊角的三角函數值即可求解；
（2）過點O作OF⊥AD，垂足為F，連接OD，根據等腰三角形的性質可用y表示出AF，DF及BF的值，由相似三角形的判定定理可知△OBF∽△ABE，根據相似三角形的對應邊成比例即可得出y與x的函數關系式；
（3）先求出⊙C的半徑CP的長，再根據兩圓相切時兩圓心的距離列方程求解即可．
解答：解：（1）過點A作AE⊥BC，垂足為E，由AB=AC，得BE=BC=2，（1分）
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=，（1分）
∴；（1分）
（2）過點O作OF⊥AD，垂足為F，連接OD，根據等腰三角形的性質可知，AF=DF=，（1分）
BF=．（1分）
∵∠OFB=∠AEB=90°，∠OBF=∠ABE，∴△OBF∽△ABE（1分）
∴，即（1分）
整理得（）（2分）
（3）可能相切．
在Rt△AEO中，∠AEO=90°，AE=1，OE=|2-x|，
則AO=（1分）
設⊙C與BC邊相交于點P，則⊙C的半徑CP=BC=1，
①若⊙O與⊙C外切，則有OA+CP=OC．
即，
解得x=2；（1分）
②若⊙O與⊙C內切，則有|OA-CP|=OC．
∵1≤OA，PC=1，OA≥CP，∴只有OA-CP=OC．（1分）
即，
解得（不合題意，舍去），（1分）
∴當⊙O與⊙C相切時，x=2．（1分）
點評：本題考查的是相似三角形判定與性質、圓與圓的位置關系，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出相似三角形，由相似三角形的性質解答．