Question

（本題滿分12分）如圖，已知拋物線經過點、，交軸于點.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）拋物線第一象限上有一動點，過點作軸，垂足為，請求出的最大值，及此時點坐標；

（3）拋物線頂點為，軸于點，一塊三角板直角頂點在線段上滑動，且一直角邊過點，另一直角邊與軸交于，請求出實數的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

（1）；（2）最大值為，此時點坐標為；（3），理由見解析

【解析】

試題分析：（1）基礎題，將、直接代入拋物線，利用待定系數法求出兩個系數，回代即可；（2）注意關鍵條件為第一象限內的點，假設好坐標后線段長度就可以用表示出來了，整理成二次函數的頂點式，易得最大值及取得最大值時的值，再代入求得坐標；（3）注意到在的左右兩邊情況不一樣，故需分類討論，結合相似三角形的性質、直角三角形的性質靈活處理，或考慮極端情況，或構造函數求最值.

試題解析：（1）將、代入拋物線，得

解得 拋物線的解析式為；

（2）設第一象限內，則，

當時，，

最大值為，此時點坐標為；

（3）對于，有 ，，

過作于點，則

①當在左側時，有∽ 設，則，

當時， 即

②當在右側時，中，，

當為點時，在最右邊，此時

綜上所述，的變化范圍為.

考點：1.待敵系數法求二次函數解析式；2.二次函數的最值；3.函數性質的綜合應用.