Question

（2010•貴陽）如圖，在直角坐標系中，已知點M的坐標為（1，0），將線段OM繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，再將其延長到M₁，使得M₁M⊥OM，得到線段OM₁；又將線段OM₁繞原點O沿逆時針方向旋轉45°，再將其延長到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到線段OM₂，如此下去，得到線段OM₃，OM₄，…，OM_n
（1）寫出點M₅的坐標；
（2）求△M₅OM₆的周長；
（3）我們規定：把點M_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3…）的橫坐標x_n，縱坐標y_n都取絕對值后得到的新坐標（|x_n|，|y_n|）稱之為點M_n的“絕對坐標”．根據圖中點M_n的分布規律，請你猜想點M_n的“絕對坐標”，并寫出來．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰直角三角形的性質分別求出M₁、M₂、M₃、M₄的坐標，然后求M₅的坐標．
（2）要求周長，就先根據各點的坐標求出三角形的三邊長，然后再求周長．
（3）點M_n的“絕對坐標”可分三類情況來一一分析：當點M在x軸上時；當點M在各象限的分角線上時；當點M在y軸上時．
解答：解：（1）由題得：OM=MM₁，
∴M₁的坐標為（1，1）．
同理M₂的坐標為（0，2），
M₃的坐標為（-2，2），
M₄的坐標為（-4，0），
M₅（-4，-4）．                                              （4分）

（2）由規律可知，，
，
OM₆=8．                                                      （6分）
∴△M₅OM₆的周長是．                                   （8分）

（3）由題意知，OM旋轉8次之后回到x軸的正半軸，
在這8次旋轉中，點分別落在坐標象限的分角線上或x軸或y軸上，
但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數，
因此，各點的“絕對坐標”可分三種情況：
①當n=4k時（其中k=0，1，2，3，），點在x軸上，則M_n（，0）；（9分）
②當n=4k-2時（其中k=1，2，3，），點在y軸上，點M_n（0，）；（10分）
③當n=2k-1時，點在各象限的角平分線上，則點M_n（2，2）．（12分）
點評：本題綜合考查了旋轉的性質及坐標系的知識．