Question

如圖，已知BC為半圓O的直徑，＝，AC交BF于點M，過A作AD⊥BC于D，交BF于E，則AE與BE的大小有什么關系？為什么？

Answer 1

答案：
解析：

[答案]相等．理由如下： 　　解法1：如圖，∵BC是直徑， 　　∴∠BAC＝．∴∠ABC＋∠ACB＝． 　　∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAD＝，即∠ABC＋∠BAD＝． 　　∴∠BAD＝∠ACB．∵＝， 　　∴∠ABF＝∠ACB，即∠ABE＝∠ACB． 　　∴∠ABE＝∠BAD．∴AE＝BE． 　　解法2：如圖連接OA、OF設OA交BF于點G，則 　　∵＝，∴∠AOB＝∠AOF，又BO＝FO． 　　∴AO⊥BF，即∠AGB＝． 　　∵∠ADB＝，∠AEG＝∠BED．∴∠EBD＝∠EAG． 　　∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB． 　　∴∠OBA－∠EBD＝∠OAB－∠EAG，即∠ABE＝∠BAE．∴AE＝BE． 　　解法3：如圖，作出⊙O，延長AD交⊙O于H，則 　　∵AH⊥BC，BC為直徑．∴＝．又＝， 　　∴＝．∴∠ABF＝∠BAH，即∠ABE＝∠BAE． 　　∴AE＝BE． 　　[剖析]要證明AE＝BE，則需證明∠ABE＝∠BAE，觀察圖形可知∠ACB＝∠ABE，于是轉證∠ACB＝∠BAE即可，由此得到解法1，由已知可得點A平分，聯想到垂徑定理，連接AO，則可證明OA⊥BF，由此得到∠OBE＝∠OAE，再由OA＝OB，得∠OBA＝∠OAB，于是使得到解法2；聯想到圓周角的性質，可證∠ABE與∠BAE所對的弧相等，于是便得到解法3．

提示：

[方法提煉] 　　要證圓周角相等，可證它們所對的弧相等，或證明它們都與第三個角相等，或通過全等(或其他方法)來證．在圓中，可通過垂徑定理、圓周角的性質等得到相等的弧、直角等．另外同一個圓中的任意兩條半徑可作為某一等腰三角形的腰．