Question

已知方程組

x2+y2=m x+y=2

（1）當m取何值時，方程組有兩個不相同的實數解；
（2）若x₁、y₁；x₂、y₂是方程組的兩個不同的實數解，且|x₁-x₂|=

3

|y₁y₂|，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把x+y=2變形代入x²+y²=m，再根據一元二次方程根的判別式即可解答；
（2）將方程組消元，轉化為關于x、y的一元二次方程，利用根與系數的關系解答．

解答：解：（1）把x+y=2變形為y=2-x，
代入①得x²+（2-x）²=m，
整理得2x²-4x+（4-m）=0，
△=（-4）²-4×2×（4-m）=-16+8m，
故-16+8m＞0，
即m＞2時方程組有兩個不相同的實數解．
（2）由于原方程組中的兩個方程為“對稱式”，
∴x₁、x₂和y₁、y₂分別為方程2x²-4x+（4-m）=0和方程2y²-4y+（4-m）=0的兩個根，
∵|x₁-x₂|=

3

•|y₁y₂|，
∴

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

•|

4-m

2

|，
兩邊平方得：（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3×

16+m2-8m

4

，
整理得3m²-32m+64=0，
解得m=

8

3

或m=8，
故m=

8

3

或8．

點評：解答此題將方程組轉化為一元二次方程，然后根據一元二次方程根與系數的關系建立起m與兩根之間的關系進行解答．