Question

如圖，點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點．
（1）求∠BPC的度數；
（2）求證：PA=PB+PC；
（3）設PA，BC交于點M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理得∠BPC與∠BAC互補；
（2）在PA上截取PD=PC，可證明△ACD≌△BCP，則AD=PB，從而得出PA=PB+PC；
（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，設DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．

解答：（1）解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，
∵點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點，
∴四邊形ABPC是圓的內接四邊形
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴∠BPC=120°，

（2）證明：連結CD．在PA上截取PD=PC，
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD為等邊三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，

AC=BC ∠ACD=∠BCP CP=CD

，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，
∴PA=PB+PC；

（3）解：∵△PCD和△ABC都為等邊三角形，
∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，
又∵∠DMC=∠CMA，
∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，
∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，
設DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x
∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，
∴△BPM∽△ACM，
∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，
解得x=

-1± 13

3

（舍去負號），
則x=

-1+ 13

3

，
∴CM=

-2+2 13

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、圓周角定理以及等邊三角形的性質，是一個綜合題，難度較大．