Question

【題目】如圖，在中，，、的平分線分別交、于點、，、相交于點，連接．下列結論：①；②；③；④點到三個頂點的距離相等；⑤．其中正確的結論有( )個．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用三角形的內角和，角平分線的性質可得∠CFD=120°，所以∠BFE=60°，并且有條件易知F為三角形的內心，若想證明BE+CD=BC，只能給BE，CD找相等的線段代替，自然想到構造全等三角形．

（1）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，

∴②cos∠BFE＝，正確．
（2）∵∠ABC，∠ACB的平分線分別交AC、AB于點D，E，CE、BD相交于點F，
∴F為三角形的內心，
∴④點F到△ABC三邊的距離相等錯誤．
（3）在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴△EBF≌△HBF，
∴∠EFB=∠HFB=60°．
由（1）知∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴△CDF≌△CHF．
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴⑤BE+CD=BC正確．
∵△CDF≌△CFH，
∴DF=FH，
∵△FEB≌△HFB，
∴FE=FH
∵DF=FH，FE=FH，
∴DF=FE，△DEF為等腰三角形，
∴∠EDF=∠FED
故③正確．
題目現有的條件不能夠證明①，所以①④錯誤．
故選：C．