Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=6，用一塊含45°的三角板，把45°角的頂點放在D點，將三角板繞著點D旋轉，使這個45°角的兩邊與線段AB、BC分別相交于點E、F．
（1）由幾個不同的位置，分別測量AE、EF、FC的長，從中你能發現AE、EF、FC的數量之間具有怎樣的關系？并證明你所得到的結論；
（2）設AE=x，CF=y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的定義域．

Answer 1

解：（1）EF=AE+FC．
理由：如圖所示：延長BC至E′′，使CE′=AE，連接DE′，
∵AD=CD，AE=CE′，∠A=∠DCE′=90°，
∴△ADE≌△CDE′，
∴DE=DE′，∠ADE=∠CDE′，
∠FDE′=∠FDC+∠CDE′=∠FDC+∠ADE=90°-∠EDF=45°，
∴△DEF≌△DE′F，
∴EF=E′F=CE′+FC=AE+FC；

（2）如圖所示，已知AE=x，CF=y，則BE=6-x，BF=6-y，
由（1）可知EF=x+y，
在Rt△BEF中，由勾股定理，得
BE²+BF²=EF²，即（6-x）²+（6-y）²=（x+y）²，
解得：y=（0≤x≤6）．
分析：（1）延長BC至E′′，使CE′=AE，連接DE′，利用旋轉法證明△ADE≌△CDE′，根據已知證明∠FDE′=∠EDF=45°，可證△DEF≌△DE′F，再根據全等三角形的性質可得EF=AE+FC；
（2）由（1）的結論，將條件集中在Rt△BEF中，由勾股定理建立x、y的函數關系式．
點評：本題考查了旋轉法在證題中的運用，勾股定理在建立函數關系式中的運用．關鍵是通過旋轉，將條件相對集中．