Question

在直角坐標平面內，O為原點，二次函數y=-x²+bx+c的圖象經過A（-1，0）和點B（0，3），頂點為P．
（1）求二次函數的解析式及點P的坐標；
（2）如果點Q是x軸上一點，以點A、P、Q為頂點的三角形是直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意，得，
解得：b=2，c=3，
∴二次函數的解析式是y=-x²+2x+3，
變形為：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴點P的坐標是（1，4）；

（2）P（1，4），A（-1，0），
∴AP²=20．
設點Q的坐標是（x，0），
則AQ²=（x+1）²，PQ²=（x-1）²+16，
當∠AQP=90°時，AQ²+PQ²=AP²，（x+1）²+（x-1）²+16=20，
解得x₁=1，x₂=-1（不合題意，舍去）
∴點Q的坐標是（1，0）．
當∠APQ=90°時，AP²+PQ²=AQ²，20+（x+1）²+16=（x+1）²，
解得x=9，
∴點Q的坐標是（9，0）．
當∠PAQ=90°時，不合題意．
綜上所述，所求點Q的坐標是（1，0）或（9，0）．
分析：（1）將A、B兩點坐標代入y=-x²+bx+c，解得b、c的值，再把解析式化為頂點坐標式，求出P點坐標；
（2）設點Q（x，0），由于根據圖形，A不可能為直角頂點，則分別討論P、Q為直角頂點時的情況．
點評：本題考查了對二次函數解析式求解的掌握及函數與圖形相結合的綜合問題．