Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圓O以1cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上，設運動時間為t（s），當t=0（s）時，半圓O在△ABC的左側，OC=8cm．
（1）當t=0（s）時，點A在半圓O______，當t=8（s）時，點A在半圓O______；
（2）當t為何值時，△ABC的邊AC與半圓O相切？
（3）當t為何值時，△ABC的邊AB與半圓O相切？

Answer 1

解：（1）當t=0（s）時，點A在半圓O外．
∵AC＞6，
∴當t=8時，點A在半圓O外．

（2）①如圖1，當點E與點C重合時，AC⊥OE，OC=OE=6cm，AC與半圓O所在的圓相切，
此時點O運動了2cm，
所求運動時間為t==2（s）；
②如圖2，當點D與點C重合時，AC⊥OD，OC=OD=6cm，AC與半圓O所在的圓相切，
此時點O運動了14cm，所求運動時間為t==14（s）


（3）③如圖3，過C點作CF⊥AB，交AB于F點；
∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴OC=6cm；
當半圓O與△ABC的邊AB相切時，
又圓心O到AB的距離等于6cm，
且圓心O又在直線BC上，
∴O與C重合，
即當O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切；
此時點O運動了8cm，所求運動時間為t==8（s）．

④當點O運動到B點的右側，且OB=12cm時，過點O作OQ⊥直線AB，垂足為Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，
即OQ與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了32cm．
所求運動時間為：t=32÷1=32s
答：當t等于2s或14s時，AC與半圓O所在的圓相切．
當t等于8s或32s時，AB與半圓O所在的圓相切．
分析：（1）根據線段AC的長度可知當t=0（s）時，點A在半圓外，介紹可知AC＞6，所以當t=8時點A在半圓外；
（2）△ABC的邊AC與半圓O相切有2個位置，當點E與點C重合時，AC與半圓O所在的圓相切，所求運動時間為t=2；當點D與點C重合時，AC與半圓O所在的圓相切，所求運動時間為t=14；
（3）過C點作CF⊥AB，交AB于F點，當半圓O與△ABC的邊AB相切時，圓心O到AB的距離等于6cm，且圓心O又在直線BC上，即當O點運動到C點時，半圓O與△ABC的邊AB相切，此時點O運動了8cm，所求運動時間為t=8．
點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系和點與圓的位置關系．利用時間t來表示線段之間的關系是動點問題中是常用的方法之一，要會靈活運用．并能根據圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系．