Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，現將△ABC沿射線BC的方向平移(＜5)個單位得到△DEF.

（1）（4分）求EF的長度；

（2）（4分）當=3時，連接AE、BD，試判斷AE、BD之間的位置關系，并說明理由；

（3）（5分）探究：當為何值時，△ADE是等腰三角形.

Answer 1

解：

（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴， … 2分

∴. …………………………… 4分

（2）AE、BD之間的位置關系是垂直且平分. … 5分

理由是:

連結AD.

∵AB∥DE，AD∥BE，

∴四邊形ABED是平行四邊形，…………… 6分

又∵AB=BE=3，

∴四邊形ABED是菱形，…………………… 7分

∴AE、BD垂直且平分.  …………………… 8分 

（3）分三種情況討論：

①當時，△ADE是等腰三角形；…… 9分

②當時，△ADE是等腰三角形.

作，垂足為M，則有：

，

在Rt△AEM中，由勾股定理得：

，

即：，

解得.  ……………………………………… 10分

③方法一：

當時，△ADE是等腰三角形.

∵當時，，

∵∠BAC=90°，

∴， …………………………………………………………… 11分

又∵

∴， ……………………………………………………………… 12分

即當時，△ADE是等腰三角形；

綜上所述，當或或時，△ADE是等腰三角形. ………………… 13分

方法二：

當AE=AD時，△ADE是等腰三角形.

設Rt△ABC中BC邊上的高為，則有：，解得.

由已知可得：，設垂足為點P，

∵AE=DE，

∴，

∵，

即：，解得， …………………………………………… 11分

在Rt△AEP中，∠APE=90°，

∴，即：，解得：，……… 12分

即當時，△ADE是等腰三角形；

綜上所述，當或或時，△ADE是等腰三角形. …………………… 13分