Question

（1）如圖，邊長為1的五個小正方形恰好如圖放在大正方形中，求大正方形的邊長．

（2）如圖，六個大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中，已知大正方形的邊長是10，求圖中x的值．

Answer 1

解：（1）大正方形中，∠A=∠D=∠F=90°，AD=DF，
∵∠1+∠DCE=90°，∠2+∠DCE=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ABC∽△DCE，
∵四邊形BCEG由邊長為1的五個小正方形組成，
∴BC=EG=1，EC=5，
∴，
∴DE=5AC，DC=5AB，
同理得∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
在△ABC和△FEG中，
，
∴△ABC≌△FEG（AAS），
∴AC=FG，AB=FE，
∵AC+CD=DE+EF，
∴AC+5AB=5AC+AB，
∴AB=AC，
∴∠1=45°，
∴AB=AC=BC•sin∠1=1×=，
∴AD=6AC=6×=；

（2）解：如圖示，
∵正方形ABCD邊長為10，
∴∠A=∠B=90°，AB=10，
過點E作EF⊥BC，垂足為F，則∠4=∠5=90°，
∴四邊形AEFB是矩形，
∴∠2+∠3=90°，EF=AB=10，
∵六個大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴△AEG∽△FEH，
∴，
∴，
∴X=2．
分析：（1）根據正方形的角都是直角和同角的余角相等，求出∠1=∠2，所以△ABC∽△DCE，根據相似三角形對應邊成比例求出DE=5AC，DC=5AB，同理∠2=∠3，又BC=EG，所以△ABC≌△FEG，AC=FG，AB=FE，再根據大正方形的邊長相等列式整理即可得到AB=AC，所以△ABC為等腰直角三角形，求出AB的長度，大正方形的邊長為6AB；
（2）如圖，過E作EF⊥BC，垂足為F，可以得到△AEG∽△FEH，再根據相似三角形對應邊成比例的性質列式求解即可得到x．
點評：本題主要利用三角形全等的判定和全等三角形的性質，相似三角形的判定和相似三角形對應邊成比例的性質，綜合性較強．