Question

【題目】如圖，已知直線l：y=ax+b與反比例函數y=﹣的圖象交于A（﹣4，1）、B（m，﹣4），且直線l與y軸交于點C．

（1）求直線l的解析式；

（2）若不等式ax+b＞﹣成立，則x的取值范圍是　 　；

（3）若直線x=n（n＜0）與y軸平行，且與雙曲線交于點D，與直線l交于點H，連接OD、OH、OA，當△ODH的面積是△OAC面積的一半時，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x﹣3；（2）x＜﹣4或0＜x＜1；（3）n的值為﹣1，﹣2，﹣5．

【解析】分析：(1)由點B在反比例函數的圖象上求m的值，用待定系數法求直線l的解析式；(2)即直線在曲線的上方時x的取值范圍；(3)求出點C的坐標，確定△OAC的面積，用含n的式子表示出DH的長，分兩種情況，根據三角形的面積公式列方程求解.

詳解：解：(1)∵y＝﹣，B(m，﹣4)，

∴m＝1，∴B(1，﹣4)．

∵y＝ax＋b過A(﹣4，1)，B(1，﹣4)，

∴，

解得，

∴直線解析式為y＝﹣x﹣3；

(2)由函數圖象可知，不等式ax＋b＞﹣成立，則x的取值范圍是x＜﹣4或0＜x＜1．

故答案是：x＜﹣4或0＜x＜1；

(3)∵直線與y軸交點為(0，﹣3)，

∴S△OAC＝×3×4＝6.

由直線x＝n可知D(n，﹣)，H(n，－n－3)，

當﹣4＜n＜0時，DH＝－－(－n－3)＝－n＋3，

∵，S△ODH＝S△OAC＝×6＝3，

∴·(－n)＝3，即(－)(－n)＝3.

整理得n2＋3n＋2＝0，

解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2；

當n＜﹣4時，DH＝(－n－3)－(－)＝－n－3，

∴·(－n)＝3，即(－n－3)(－n)＝3.

整理得n2＋3n﹣10＝0，

解得：n1＝﹣5，n2＝2(不合題意，舍去)．

綜上可知n的值為﹣1，﹣2，﹣5．