Question

已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A（3，3）．
（1）求正比例函數和反比例函數的解析式；
（2）把直線OA向下平移后得到直線l，與反比例函數的圖象交于點B（6，m），求m的值和直線l的解析式；
（3）在（2）中的直線l與x軸、y軸分別交于C、D，求四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，由正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A（3，3），即可求得解析式；
（2）由點B在反比例函數圖象上，即可求得m的值；又由此一次函數是正比例函數平移得到的，可知一次函數與反比例函數的比例系數相同，代入點B的坐標即可求得解析式；
（3）構造直角梯形AEFD，則通過求解△ABE、△BDF與直角梯形ADFE的面積即可求得△ABD的面積．

解答：解：（1）設正比例函數的解析式為y=ax，反比例函數的解析式為y=

b

x

，
∵正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A（3，3），
∴3=3a，3=

b

3

，
∴a=1，b=9，
∴正比例函數的解析式為y=x，反比例函數的解析式為y=

9

x

；

（2）∵點B在反比例函數上，
∴m=

9

6

=

3

2

，
∴B點的坐標為（6，

3

2

），
∵直線BD是直線OA平移后所得的直線，
∴可設直線BD的解析式為y=x+c，
∴

3

2

=6+c，
∴c=-

9

2

，
∴直線l的解析式為y=x-

9

2

；

（3）過點A作AE∥x軸，交直線l于點E，連接AC．
∵直線l的解析式為y=x-

9

2

，A（3，3），
∴點E的坐標為（

15

2

，3），點C的坐標為（

9

2

，0）．
∴AE=

15

2

-3=

9

2

，OC=

9

2

，
∴S_{四邊形OABC}=S_△OAC+S_△ACE-S_△ABE
=

1

2

×

9

2

×3+

1

2

×

9

2

×3-=

1

2

×

9

2

×

3

2

=

81

8

．

點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數的解析式，直線平移規律，四邊形面積的求解方法等知識．主要考查學生數形結合的思想方法．