Question

【題目】如圖，內接于，是的直徑，過點的切線交的延長線于點，是上一點，點，分別位于直徑異側，連接，，，且．

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）過點作，垂足為點，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)由直徑所對的圓周角等于90°及DA是圓的切線可知，進一步得到∠ADB=∠CAB，再由同弧所對圓周角即可證明△EBC為等腰三角形.

(2)由(1)中可得到弧CE與弧CB相等，進而得到C是弧BE中點，進而得到CO所在直線與AB垂直，易證AE∥CO，得到∠COA=∠EAO,在△COB中由外角定理即可求解.

(3)先證，得到相似比為2，設半徑為，，則，由得到，將AF和BF分別用r的代數式表示即可求解.

（1）證明：切于點

又是的直徑

．

又，

．

（2）連接，如下圖所示：

弧弧

∴C是弧BE中點，故有CO所在直線與BE垂直

又是的直徑

．

即

（3）

，是的直徑

設半徑為，，則

，即

，