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已知:關于x的二次函數y=-x2+(m+2)x-m.
(1)求證:不論m為任何實數,二次函數的圖象的頂點P總是在x軸的上方;
(2)設二次函數圖象與y軸交于A,過點A作x軸的平行線與圖象交于另外一點B.若頂點P在第一象限,當m為何值時,△PAB是等邊三角形.
【答案】分析:(1)只要求出頂點的縱坐標為正,就能確定頂點P總是在x軸的上方,根據頂點的縱坐標公式求解;
(2)根據圖形可以看出,對稱軸把等邊三角形分成兩個全等的30°的直角三角形,根據點的坐標與線段的關系可以求解.
解答:(1)證明:二次函數y=-x2+(m+2)x-m中,a=-1,b=m+2,c=-m,
∴頂點P的縱坐標為==>0,
∴頂點P總在x軸上方;

(2)解:二次函數y=-x2+(m+2)x-m與y軸交于點A(0,-m),
頂點P(),
過P作PC⊥AB于C,則C(,-m),
因為點P在第一象限,所以>0,
AC=,PC=
∵△PAB是等邊三角形,
∴∠PAC=60°,
由tan∠PAC==),
整理得:(m+2)2=2(m+2),
∴m+2=2
∴m=2-2,
即m=2-2時,△PAB是等邊三角形.
點評:解答此題的關鍵是求出對稱軸,頂點縱坐標,然后由圖象解答,鍛煉了學生數形結合的思想方法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

已知:關于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.
(1)求證:m取任何實數量,方程總有實數根;
(2)若二次函數y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的圖象關于y軸對稱;
①求二次函數y1的解析式;
②已知一次函數y2=2x-2,證明:在實數范圍內,對于x的同一個值,這兩個函數所對應的函數值y1≥y2均成立;
(3)在(2)條件下,若二次函數y3=ax2+bx+c的圖象經過點(-5,0),且在實數范圍內,對于x的同一個值,這三個函數所對應的函數值y1≥y3≥y2均成立,求二次函數y3=ax2+bx+c的解析式.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知關于x的二次函數y=ax2+2ax+7a-3在-2≤x≤5上的函數值始終是正的,則a的取值范圍(  )
A、a>
1
2
B、a<0或a>
1
14
C、a>
1
14
D、
1
14
<a<
1
2

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網已知關于x的二次函數y=x2+(2k-1)x+k2-1.
(1)若關于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的兩根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐標系(如圖)中畫出函數y=x2+(2k-1)x+k2-1的大致圖象;
(2)在(1)的條件下,設這個二次函數的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點.問函數對稱軸右邊的圖象上,是否存在點M,使銳角△AMB的面積等于3.若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)在(1)、(2)條件下,若P點是二次函圖象上的點,且∠PAM=90°,求△APM的面積.

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知一次函數y1=2x,二次函數y2=mx2-3(m-1)x+2m-1的圖象關于y軸對稱,y2的頂點為A.
(1)求二次函數y2的解析式;
(2)將y2左右平移得到y3交y2于P點,過P點作直線l∥x軸交y3于點M,若△PAM為等腰三角形,求P點坐標;
(3)是否存在二次函數y4=ax2+bx+c,其圖象經過點(-5,2),且對于任意一個實數x,這三個函數所對應的函數值y1、y2、y4都有y1≤y4≤y2成立?若存在,求出函數y4的解析式;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源:北京模擬題 題型:解答題

已知:關于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0。
(1)求證:m取任何實數時,方程總有實數根;
(2)若二次函數y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的圖象關于y軸對稱,
①求二次函數y的解析式;
②已知一次函數y2=2x-2,證明:在實數范圍內,對于x的同一個值,這兩個函數所對應的函數值y1≥y2均成立;
(3)在(2)條件下,若二次函數y3=ax2+bx+c的圖象經過點(-5,0),且在實數范圍內,對于x的同一個值,這三個函數所對應的函數值y1≥y3≥y2 均成立,求二次函數y3=ax2+bx+c的解析式。

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