Question

如圖，已知：五圓⊙₁、⊙₂、⊙₃、⊙₄、⊙₅順次排列且互相外切，又均與兩直線公切，最小圓⊙₁半徑為8，最大圓⊙₅半徑為18．求：⊙₂、⊙₃、⊙₄的半徑R₂，R₃、R₄．

Answer 1

分析：圓與圓相切，連心線必過切點，直線與圓相切，直線必垂直于經過切點的半徑，結合圖形的對稱性，用相似三角形的知識解答本題．

解答：解：連接O₁、O₂、O₃、O₄、O₅，
由已知可知O₁、O₂、O₃、O₄、O₅共線，
設⊙₁、⊙₂、⊙₃、⊙₄、⊙₅與公切線切點順次為E、F、P、Q、M，
連接O₁E、O₂F、O₃P、O₄Q、O₅M．
作O₁A⊥O₂F、O₂B⊥O₃P，O₃C⊥O₄Q，O₄D⊥O₅M，
則△O₁AO₂∽△O₂BO₃∽△O₃CO₄∽△O₄DO₅，
設⊙₂、⊙₃、⊙₄的半徑為x、y、z，
則O₁O₂=x+8，O₂A=x-8，O₂O₃=x+y，O₂B=y-x，
O₃O₄=y+z，O₄C=z-y，O₄O₅=z+18，O₅D=18-z，
∴

x+8

x-8

=

x+y

y-x

=

y+z

z-y

=

z+18

18-z

，
用合比定理得：

x

8

=

y

x

=

z

y

=

18

z

，
∴x=

8z

y

又x=

yz

18

，
∴y²=144，即y=12，x=4

6

，z=6

6

，
∴⊙₂的半徑為4

6

，
⊙₃的半徑為12、⊙₄的半徑為6

6

．

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質、切線的性質和兩圓相切的性質等知識點的理解和掌握．充分運用直線與圓、圓與圓相切，作輔助線，把問題轉化為證明相似三角形，利用相似比求解．