Question

已知：如圖，AB=BC,∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交OC與點D，AD的延長線交BC于點E，過D作⊙O的切線交BC于點F。下列結論：①CD²=CE·CB；②4EF²=ED·EA；③∠OCB=∠EAB；④DF=CD.其中正確的有            (填序號)

Answer 1

①、②、④

試題分析：先連接BD，利用相似三角形的判定以及切線的性質定理得出DF=FB，進而分別得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO，再根據相似三角形的性質分別分析即可得出答案．：解：①連接BD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠3=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠DBE=90°，
∴∠1=∠3，
又∵DO=BO，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠CDB=∠CED，
∵∠DCB=∠ECD，
∴△CDE∽△CBD，
∴CD²=CE•CB，故①CD²=CE•CB正確；
②∵過D作⊙O的切線交BC于點F，
∴FD是⊙O的切線，
∵∠ABC=90°，
∴CB是⊙O的切線，
∴FB=DF，
∴∠FDB=∠FBD，
∴∠1=∠FDE，
∴∠FDE=∠3，
∴DF=EF，
∴EF=FB，
∴EB=2EF，
∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，
∴EB²=ED•EA，
∴4EF²=ED•EA，故②4EF²=ED•EA正確；
③∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ADO，
假設③∠OCB=∠EAB成立，
則∠OCB=0.5∠COB，
∴∠OCB=30°，
而，與tan30°=矛盾，
故③∠OCB=∠EAB不成立，故此選項錯誤；
④∵∠CDF=∠CBO=90°，
∠DCF=∠OCB，
∴△CDF∽△CBO，
∴，
∴，
∵AB=BC，
∴DF=0.5CD；故④DF=0.5CD正確．
綜上正確的有①、②、④．
故答案為：①②④．
點評：此題主要考查了圓的切線性質與判定、圓周角定理性質及三角形相似的判定等知識，熟練根據相似三角形的性質得出對應邊之間關系是解題關鍵．