Question

已知：如圖，BD為⊙O的直徑，點A是劣弧BC的中點，AD交BC于點E，連接AB．
（1）求證：AB²=AE•AD；
（2）過點D作⊙O的切線，與BC的延長線交于點F，若AE=2，ED=4，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）點A是劣弧BC的中點，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可證得△ABE∽△ADB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得AB²=AE•AD；
（2）由（1）求得AB的長，又由BD為⊙O的直徑，即可得∠A=90°，由DF是⊙O的切線，可得∠BDF=90°，在Rt△ABD中，求得tan∠ADB的值，即可求得∠ADB的度數，即可證得△DEF是等邊三角形，則問題得解．
解答：解：（1）證明：∵點A是劣弧BC的中點，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴．
∴AB²=AE•AD．（3分）

（2）解：∵AE=2，ED=4，
∵△ABE∽△ADB，
∴，
∴AB²=AE•AD，
∴AB²=AE•AD=AE（AE+ED）=2×6=12．
∴AB=2（舍負）．（4分）
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠A=90°．
又∵DF是⊙O的切線，
∴DF⊥BD．
∴∠BDF=90°．
在Rt△ABD中，tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°．
∴∠ABC=∠ADB=30°．
∴∠DEF=∠AEB=60°，∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°．
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°．
∴△DEF是等邊三角形．
∴EF=DE=4．（5分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，圓的切線的性質，以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是數形結合思想的應用．