Question

如圖，在△ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE，過E作EF∥CD交BC于F．下列結論：①BE=EC；②BC²=AC•DC；③S_△BEC：S_△BEA=2：1；④EF=AD；⑤sin∠BCA=．其中正確結論的個數有（ ）

A．2個
B．3個
C．4個
D．5個

Answer 1

【答案】分析：作AH⊥BD的延長線于H，作BG⊥CD于G，根據條件利用直角三角形的性質求出∠EBA=∠EAB，就可以得出BE=AE．由∠CED=∠EAD，得出CE=AE．可以得出①是正確的，設參數利用勾股定理就可以求出BC的值就可以得出結論②；根據等底的兩三角形面積之比等腰高之比運用相似三角形的性質求出高的比就可以得出結論③；根據平行線的性質得出三角形相似，根據性質就求出EF與AD的數量關系，而得出結論④；根據三角函數值的定義建立直角三角形，用參數表示出相應邊的值就可以求出結論⑤．
解答：解：∵CE⊥BD，
∴∠CED=∠CEB=90°．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，
∴CD=2ED．
∵CD=2DA，
∴ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∴∠CED=∠EAD，
∴CE=AE．
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE=15°，
∴∠EBA=15°，
∴∠EBA=∠EAB，
∴BE=AE．
∴BE=CE，故①正確；
設AD=x，則DE=x，CD=2x，
∴AC=3x，
∴AC•CD=6x²．
在Rt△CED中，由勾股定理，得
CE=x
∴BE=x，
在Rt△CEB中，由勾股定理，得
BC=x，
∴BC²=6x²．
∴BC²=AC•DC，故②正確；
作AH⊥BD的延長線于H，
∴∠AHD=90°，
∴∠CED=∠AHD，
∵∠CDE=∠ADH，
∴△CDE∽△ADH，
∴=2，
∴CE=2AH．
∵S_△BEC=，S_△BEA=
∴S_△BEC==2×，
∴S_△BEC=2S_△BEA，
∴S_△BEC：S_△BEA=2：1，故③正確；
∵EF∥CD，
∴△BFE∽△BCD，
∴，
∴，
∴EF=（3-）x．
∵AD=x
∴EF=（3-）AD≠AD，故④錯誤；
作BG⊥CD于G，
∴∠BGC=∠BGD=90°，
∵∠BDG=60°，
∴∠GBD=30°，
∴GD=BD=（x+x），
在RtBGD中由勾股定理得
GB=，
∴sin∠BCA==，故⑤正確．
故選C．
點評：本題考查了30°的直角三角形的性質的運用，等腰三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質的運用，三角函數值的運用，解答時找到解決問題的入手點垂直是關鍵，靈活運用特殊角求解是重點，設參數求解是難點．