Question

已知：如圖，AC是⊙O的直徑，AB是弦，MN是過點A的直線，AB等于半徑長．

(1)若∠BAC=2∠BAN，求證：MN是⊙O的切線；

(2)在(1)成立的條件下，當點E是的中點時，在AN上截取AD=AB，連接BD、BE、DE，求證：△BED是等邊三角形．

Answer 1

證明：(1)連接OB．

    因為  AC是⊙O的直徑，AB是弦，且等于半徑長．

    所以  OA=OB=AB．

    所以  △AOB為等邊三角形．

    所以  ∠OAB=60°．

    因為  ∠BAC=2∠BAN=60°，

    所以  ∠BAN=30°．

    所以  ∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°．

    所以  AC⊥MN，且AC為直徑，

    所以  MN是⊙O的切線．

    (2)連接AE，OE．

    由E是的中點，可得∠BAE=∠ABE=15°．

    易證  △ABE≌△ADE

    所以  BE=DE，∠EDA=15°．

    可證得  ∠BDE=60°．

    所以  △BDE是等邊三角形．