Question

如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．
求證：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，則∠A′DE=90°，再計算出∠A′ED=45°，根據等角對等邊可得A′D=ED，即可利用SAS證明△AA′D≌△CED；
（2）首先由AC=A′C，可得點C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，進而得到點E也在AA′的垂直平分線上，再根據兩點確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根據旋轉的方法可得：∠EA′D=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中，
∴△AA′D≌△CED（SAS）；

（2）∵根據旋轉可得AC=A′C，∠ACE=∠A′CE，
∴點C在AA′的垂直平分線上，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中，
∴△AEB′≌△A′ED（AAS），
∴AE=A′E，
∴點E也在AA′的垂直平分線上，
∴直線CE是線段AA′的垂直平分線．
點評：此題主要考查了正方形的性質，以及旋轉的性質，關鍵是熟練掌握正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；找準旋轉后相等的線段．