Question

某自然數恰好等于它的各位數字和的11倍，則這個自然數是

0或198

．

Answer 1

分析：分類討論，①這個數為1位數，②這個數為2位數，③這個數為3位數，④這個數為4位數，根據自然數恰好等于它的各位數字和的11倍可得出各位數字的關系，分析即可得出符合題意的數．

解答：解：①如果是1位數，則a=11a，該數為0；
②如果是2位數，則10a+b=11（a+b），10b+a=0，則該數為0，（舍去）；
③如果是3位數，則100a+10b+c=11（a+b+c）
89a=b+10c，
89a≥89，b+10c≤99，
仔細分析可得該數=198；
④如果是4位數，則1000a+100b+10c+d=11（a+b+c+d），
而1000a+100b+10c+d≥1000，11（a+b+c+d）≤11×36=396
所以等式不成立，同樣4位以上的數也不成立．
結論是符合要求的數只有0和198．
故答案為：0或198．

點評：此題考查了多元一次不定方程的分析求解，關鍵在于注意分類討論這個數是幾位數，得出不定方程后，要注意驗證不定方程能否成立，這也是本題的難點所在．