Question

如圖（1）所示，一張平行四邊形紙片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿對角線BD把這張紙片剪成△AB₁D₁和△CB₂D₂兩個三角形（如圖（2）所示），將△AB₁D₁沿直線AB₁方向移動（點B₂始終在AB₁上，AB₁與CD₂始終保持平行），當點A與B₂重合時停止平移，在平移過程中，AD₁與B₂D₂交于點E，B₂C與B₁D₁交于點F。

（1）當△AB₁D₁平移到圖（3）的位置時，試判斷四邊形B₂FD₁E是什么四邊形？并證明你的結論；
（2）設平移距離B₂B₁為x，四邊形B₂FD₁E的面積為y，求y與x的函數關系式；并求出四邊形B₂FD₁E的面積的最大值；
（3）連結B₁C（請在圖（3）中畫出）。當平移距離B₂B₁的值是多少時，△B₁B₂F與△B₁CF相似？

Answer 1

解：（1）四邊形B₂FD₁E是矩形。
因為△AB₁D₁平移到圖（3）的，所以四邊形B₂FD₁E是一個平行四邊形，又因為在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，則有∠ADB是直角。所以四邊形B₂FD₁E是矩形。
（2）因為三角形B₁B₂F與三角形AB₁D₁相似，則有B₂F==0.6x，B₁F==0.8x，
所以=B₂F×D₁F=0.6x×（8-0.8x）=4.8x-0.48x²，即y=4.8x-0.48x²=12-0.48（x-5）²，
當x=5時，y=12是最大的值。
（3）要使△B₁B₂F與△B₁CF相似，則有即，解之得：x=3.6。