Question

如圖（1）所示，一張平行四邊形紙片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿對角線BD把這張紙片剪成△AB₁D₁和△CB₂D₂兩個三角形（如圖（2）所示），將△AB₁D₁沿直線AB₁方向移動（點B₂始終在AB₁上，AB₁與CD₂始終保持平行），當點A與B₂重合時停止平移，在平移過程中，AD₁與B₂D₂交于點E，B₂C與B₁D₁交于點F，
（1）當△AB₁D₁平移到圖（3）的位置時，試判斷四邊形B₂FD₁E是什么四邊形？并證明你的結論；
（2）設平移距離B₂B₁為x，四邊形B₂FD₁E的面積為y，求y與x的函數關系式；并求出四邊形B₂FD₁E的面積的最大值；
（3）連接B₁C（請在圖（3）中畫出）．當平移距離B₂B₁的值是多少時，△B₁B₂F與△B₁CF相似？

Answer 1

分析：（1）首先根據勾股定理的逆定理得到直角三角形ABD，再根據有一個角是直角的平行四邊形判定該四邊形是矩形；
（2）根據平行可以得到其中的兩個小直角三角形和大直角三角形相似，再根據其對應邊的比相等，求得矩形的長和寬，進一步表示出它的面積；
（3）若相似，則結合（2）中表示出的線段，寫出相關的比例式，從而求得x的值．

解答：解：（1）四邊形B₂FD₁E是矩形．
因為△AB₁D₁是平移到圖（3）的，所以四邊形B₂FD₁E是一個平行四邊形，
又因為在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，BD=8，則有∠ADB是直角．所以四邊形B₂FD₁E是矩形．

（2）因為△B₂B₁F與△AB₁D₁相似，
則有B₂F=

3

5

B₁B₂=0.6x，B₁F=

4

5

B₁B₂=0.8x，
所以S_B2FD1E=B₂F×D₁F=0.6x×（8-0.8x）=4.8x-0.48x²
即y=4.8x-0.48x²=12-0.48（x-5）²
當x=5時，y=12是最大的值．

（3）要使△B₁B₂F與△B₁CF相似，
則有

B2F

B1F

=

B1F

FC

或

B2F

B1F

=

F C

B1F

即

0.6x

0.8x

=

0.8x

(6-0.6x)

或

0.6x

0.8x

=

6-0.6x

0.8x

，
解之得：x=3.6或5．

點評：綜合運用了勾股定理的逆定理、矩形的判定和性質、相似三角形的判定和性質．