Question

【題目】已知點在軸正半軸上，以為邊作等邊，，其中是方程的解．

（1）求點的坐標．

（2）如圖1，點在軸正半軸上，以為邊在第一象限內作等邊，連并延長交軸于點，求的度數．

（3）如圖2，若點為軸正半軸上一動點，點在點的右邊，連，以為邊在第一象限內作等邊，連并延長交軸于點，當點運動時，的值是否發生變化？若不變，求其值；若變化，求出其變化的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不變化，．

【解析】

（1）先將分式方程去分母化為整式方程，再求解整式方程，最后檢驗解是原分式方程的解，即得；

（2）先證明，進而可得出，再利用三角形內角和推出，最后利用鄰補角的性質即得；

（3）先證明，進而得出以及，再根據以上結論以及鄰補角對頂角的性質推出，最后根據所對直角邊是斜邊的一半推出，即得為定值．

（1）∵

∴方程兩邊同時乘以得：

解得：

檢驗：當時，

∴原分式方程的解為

∴點的坐標為 ．

（2）∵、都為等邊三角形

∴，，

∴

∴在與中

∴

∴

∵在中，

∴

∵在中，

∴

∴

∴

∵

∴．

（3）不變化，理由如下：

∵、都為等邊三角形

∴，，

∴

∴在與中

∴

∴，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴在中，

∴

∵A點坐標為

∴

∴

∴為定值9，不變化．