Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．

1.若AC=8，AB=12，求⊙O的半徑；

2.連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由

 

Answer 1

【答案】

 

1.設⊙O的半徑為r.

        ∵BC切⊙O于點D  ∴OD⊥BC

        ∵∠C=90° ∴OD∥AC ∴△OBD∽△ABC.   …………………………2分

∴ = ，即   解得： 

∴⊙O的半徑為………………………4分

2.四邊形OFDE是菱形      ………………5分

        ∵四邊形BDEF是平行四邊形 ∴∠DEF=∠B.

∵∠DEF=∠DOB ∴∠B=∠DOB.

∵∠ODB=90° ∴∠DOB+∠B=90° ∴∠DOB=60°

∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等邊三角形

∴OD=DE ∵OD=OF ∴DE=OF ∴四邊形OFDE是平行四邊形  ………7分

∵OE=OF ∴平行四邊形OFDE是菱形.  …………………………………8分

【解析】（1）連接OD，設⊙O的半徑為r，可證出△BOD∽△BAC，則，從而求得r；（2）由四邊形BDEF是平行四邊形，得∠DEF=∠B，再由圓周角定理可得，∠B= ∠DOB，則△ODE是等邊三角形，先得出四邊形OFDE是平行四邊形．再根據OE=OF，則平行四邊形OFDE是菱形．