Question

已知二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點，對稱軸方程為x=2，若AB=6，且此二次函數(shù)的最大值為5，則此二次函數(shù)的解析式為

 

．

Answer 1

分析：先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，因知道對稱軸x=2及二次函數(shù)的最大值為5，可設(shè)函數(shù)解析式為：y=a（x-2）²+5，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點且AB=6，知方程a（x-2）²+5=0的兩根x₁，x₂有|x₁-x₂|=6，代入可以求出a值，從而求出二次函數(shù)的解析式．

解答：解：設(shè)函數(shù)的解析式為：y=a（x-2）²+5，
設(shè)方程a（x-2）²+5=ax²-4ax+4a+5=0的兩根為：x₁，x₂
二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點，且AB=6，
∴|x₁-x₂|=6，
∵x₁+x₂=4，x₁•x₂=

4a+5

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=6，
∴16-4×

4a+5

a

=36，
解得a=-

5

9

，
∴此二次函數(shù)的解析式為：y=-

5

9

x²+

20

9

x+

25

9

．

點評：此題考查一次函數(shù)的基本性質(zhì)，知道對稱軸和函數(shù)最大值把二次函數(shù)設(shè)為頂點式，學(xué)會用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，還考查學(xué)生的計算能力．